帰無仮説を採択できる？棄却できないときの結論とは？【統計学】

Q & A

• 帰無仮説を採択することできる？
  ❌ 帰無仮説を採択することはできない

• 棄却できないときの結論は？
  🔺 何も言えない。否定も肯定もできず、結論はでない。

理由

有限個の標本から、帰無仮説の否定は（ほぼ）できるが、肯定はできないため。

説明の流れ

1. 背理法のロジック
   • 統計的（確率的）要素を取り除き、単純化したものでの説明
     ※仮説検定では、統計的要素を含み理解しにくいため
2. 仮説検定との対応関係・変化点
   • 背理法に統計的要素を加え、前後の対応関係・変化点を説明
3. 仮説検定のロジック
   • 仮説検定で結論を出すロジックを説明
   • 最初の疑問に対する答えとその理由を説明

注意

• イメージしやすいよう、かみ砕いた表現を用いているため、厳密には正しくない表現が含まれる可能性があります。
• 本記事では「背理法＝仮説検定から統計的要素を取り除いたもの」として扱っています。

例題

袋の中に複数の玉が入っているが、色がすべて○であるのか疑わしい
※ 可能性のある色は○と●の2パターンのみとする

結論を導く手順

• 手順a. 仮定（命題の否定）を言い換える
• 手順b. 手元の情報で検証を行う

仮定の言い換え

• 手順2. 仮定 （命題の否定）
  「袋の中身は すべて○ である」
• 手順a. 仮定の言い換え
  「取り出すと 必ずすべて○ である」
• 手順b. 仮定の言い換えの否定
  「取り出すと 1つ以上● の場合がある」

　　↓
検証内容：仮定の否定材料「●」がないか探す

ポイント：「すべてが○である」の否定

• ❌「 すべて が●である」
• ✅「 1つ以上 が●である」

結論までの流れ

i. 仮定の言い換えの否定「取り出すと1つ以上●の場合がある」が肯定される
ii. 仮定が否定される
iii. 命題が肯定される

ポイント

数個 取り出しただけで仮定を 否定 できる可能性がある

結論までの流れ

• 袋の中身をすべて
  確認してい なかった ら…
  • 袋の中身にまだ否定材料が残っているかもしれない
  • 「取り出すと1つ以上●になる」可能性が残っている
    否定も肯定もできない
• 袋の中身をすべて確認して いた ら…
  • i. 仮定の言い換えの否定「取り出すと1つ以上●の場合がある」が否定される
  • ii. 仮定が肯定される
  • iii. 命題が否定される

ポイント

すべて 取り出さないと仮定を 肯定 でない

専門用語との対応

「$\triangle_1～\triangle_2$内」 ＝　採択域（信頼区間）
「$\triangle_1～\triangle_2$外」 ＝　棄却域

結論を導く手順

• 手順a. 帰無仮説を言い換える
• 手順b. 手元の情報で検証を行う

帰無仮説の言い換え

• 手順2. 帰無仮説
  帰無仮説「母集団の統計値はXである」
• 手順a. 帰無仮説の言い換え
  「母集団から標本を取得すると 検定統計量□は必ず ほぼ すべて $\triangle_1～\triangle_2$内に入る」
• 手順b. 帰無仮説の言い換えの否定
  「母集団から標本を取得すると 検定統計量□は 無視できない確率で $\triangle_1～\triangle_2$から外れる 」

　　↓
検証内容：帰無仮説の否定材料「検定統計量□が $\triangle_1～\triangle_2$から外れる標本」がないか探す

結論までの流れ

i. 仮説の言い換えの否定が ほぼ 肯定される
ii. 帰無仮説が ほぼ 否定される
iii. 対立仮説がほぼ肯定される

ポイント

1つでも否定材料が見つかれば、帰無仮説をほぼ否定できる
＝ 帰無仮説の 棄却が可能

理由

他の標本の検定統計量□を確認したら、否定材料が見つかるかもしれないため。

では、（ほぼ）すべての標本の 検定統計量を確認すればよい？

不可能
検定統計量□は無数に取得できるため。（ほぼ）すべて の確認は実質不可能。

ポイント

有限個の標本から、帰無仮説の肯定は不可能
＝ 帰無仮説の 採択は不可能

Q & A

• 帰無仮説を採択することできる？
  ❌ 帰無仮説を採択することはできない

• 棄却できないときの結論は？
  🔺 何も言えない。否定も肯定もできず、結論はでない。

理由

有限個の標本から、帰無仮説の否定は（ほぼ）できるが、肯定はできないため。