仮説検定とは？手順もわかりやすく図解【統計学】

仮説検定は、統計学の中でも重要なツールの1つです。 高校数学でも取り扱われるようになりました。 「意味わからない」という人でも、 視覚的に概要を理解できるよう仮説検定について解説します。

仮説検定（「統計的仮説検定」「検定」と呼ばれることも）とは 「仮説が正しいのかを、統計学的に検証すること」 です。 「その結果は偶然か、それとも何か要因があるのか」などを検証します。

たとえば、 以下のような例題があったとします。

仮説検定を用いると、 上記のような問いに対して、 客観的な結論が導き出せます。

仮説検定では、2つの仮説を立てることから始まります。

• 対立仮説 $H_1$ ：確認したい仮説
• 帰無仮説 $H_0$ ：対立仮説を否定する仮説

帰無仮説が否定されることを示すことで、 対立仮説が成り立つことを証明するのが、 仮説検定の大まかな流れになります。

以下で、それぞれの仮説について述べ、手順の具体例を示します。

仮説検定の大まかな流れは、 確認したい仮説と、それを否定する2つの仮説を立て、 後者が成り立たないことを示します。 仮説の否定を否定して、仮説を肯定（証明）する、 いわゆる背理法です。 確認したい仮説を対立仮説 $H_1$ と言い、 それを否定する仮説を帰無仮説 $H_0$ と言います。

対立仮説は、 確認したい、証明したい内容を設定します。 集団全体を示す公表値などについて、 「その数値は正しくないのではないか？」 というような、確認したい疑念などを仮定したりします。 この仮説は、統計学的に言い換えると、 「母集団を示す統計値として、その数値は間違っている」 というように、 母集団について仮定していることになります。

帰無仮説は、 対立仮説を否定する仮説です。 対立仮説を設定すると、自動的に決まります。 上記の対立仮説の場合、 集団全体を示す公表値などについて、 「その数値は正しい」 と仮定することになります。 統計学的に言い直すと、 「母集団を示す統計値として、その数値は正しい」 ということになります。 つまり、母集団についての統計値を仮定していることになります。

帰無仮説を基に、母集団を仮定して検証を進めていき、 仮定が正しくないことが言えれば、 対立仮説が成り立つという結論が導けます。

手順1で立てる仮説として、 以下のような例があります。

• 対立仮説 $H_1$ : 「フライドポテトの質量は100gではない」
• 帰無仮説 $H_0$ : 「フライドポテトの質量は100gである」 これは、次の例題がある場合に設定されます。

このショップで販売しているフライドポテト1品の 質量は公表値通りと言えるのでしょうか？ フライドポテト1品の質量が正規分布に従うとします。

対立仮説には、本来検証したい内容を設定します。 今回は「フライドポテトの質量が公表通りか疑わしい」 ことを検証したいので、以下のように設定します。

• 対立仮説 $H_1$ : 「フライドポテトの質量は100gではない」

帰無仮説には、対立仮説の否定を設定します。 今回の場合は、以下のように設定されます。

• 帰無仮説 $H_0$ : 「フライドポテトの質量は100gである」

仮説検定では、帰無仮説が正しいと仮定して進めていきます。 つまり母集団の平均 （このショップで販売した すべてのフライドポテトをかき集めてきたと仮定して、 そのすべての質量の平均） は100gであると仮定します。

手順1で帰無仮説を立てたら、 これを評価するための尺度として検定統計量を決めます。 検定統計量とは、 帰無仮説の否定に使用する 統計的な値のことです。 母集団と1標本の統計値から1つ算出できます。 使用する検定統計量をここで決めますが、 実際にその値を算出するのは もっと後（手順4）なので注意です。

以下で、検定統計量の考え方について述べ、 決め方の具体例を示します。

検定統計量は （簡単に「統計量」と言うことも）、 帰無仮説の否定に使用する、 統計的な値です。 どんな値になるのかは、 統計学的に決まります。 仮説から導いた検定統計量が、 統計学的に決まっている値から外れていると、 仮説が正しくないことを意味します。

たとえば、 「統計学的には、 〇の値は $\triangle_1$ ～ $\triangle_2$にはならないはずだ。 しかし、帰無仮説 $H_0$ が正しいとして〇を算出すると、 その範囲に入った。」 となれば、 帰無仮説は否定されます。 この「〇の値」というのが、 検定統計量になります （「$\triangle_1$ ～ $\triangle_2$」は、 棄却域という。 手順3にて決定）。

検定統計量は、 母集団と1標本の両方の統計値（平均や分散など） から1つ算出されます。 母集団の統計値は、 帰無仮説によって仮定されます。 そのため、 標本を1つ取得できれば、 検定統計量が1つ得られる ことになります。 得られた1つの検定統計量と、 統計学的に導かれる値の範囲 $\triangle_1$ ～ $\triangle_2$ を比較して、結論を出すことになります。

どの検定統計量を使用するのかは、 与えられた条件をみて、 適切に選択する必要があります。 選択時に考慮すべき点は主に2つあります。

1. 選択する検定統計量は、 仮定や手元の情報から算出できるか。
2. 検定統計量によっては、 使用できる前提条件が存在するが、 それを満たしているのか。

また注意点として、 この手順の段階では、 使用する検定統計量を選択するだけです。 仮説とデータを使って 実際の検定統計量の算出は行いません。 実際に検定統計量を算出するのは、 統計学的にどんな値の範囲になるのか 決めた後（手順3の後）です。 基準を決める前に 検定に使用する数値がわかっていると、 判定の客観性が失われてしまいます。

母平均と標本平均、不偏分散 がわかる場合、 検定統計量には $t$ 値が選択できます。 手順1の具体例（以下）が、 この条件に該当します。

帰無仮説 $H_0$ : 「フライドポテトの質量は100gである」

母平均は、帰無仮説 $H_0$ から設定できます。 標本平均、不偏分散は、 フライドポテトの質量を実際に測定したデータから 得られます。

まず母平均について考えてみます。 帰無仮説を言い換えると 「フライドポテトの質量の 母平均 は100gである」 になります。 公表値100gは、 母集団の平均値を意味するためです。 さらに別の言い方をすると、 「これまでに販売してきたすべてのフライドポテトを 漏れなくかき集め、質量を測れたとしたら 平均質量100gになる」 になります。

次に、標本平均、不偏分散について考えてみます。 フライドポテトを実際に購入し、 重さを測ることで、 標本の平均（標本平均）と分散（不偏分散）は 取得することができます。 また購入する数によって、 サンプルサイズは決まります。

上記のように、 母平均と標本平均、不偏分散 がわかる場合、 検定統計量として、 $t$ 値が選択できます。

• $t$ : 検定統計量
• $\bar{x}$ : 標本平均
• $\mu$ : 母平均
• $s^2$ : 不偏分散
• $n$ : サンプルサイズ

$t$ 値には、使用条件があります。 「母分散が正規分布に従うこと」 というものですが、 今回の例では満たしているものとします。

使用する検定統計量を決めた（手順2）次は、 帰無仮説の判定基準となる検定統計量の範囲（棄却域）を決めます。 帰無仮説から算出される検定統計量が 棄却域に入れば、 帰無仮説は棄却されます。

棄却域を決めるには、 次の2つの設定が必要になります。

• 設定項目1: 有意水準 $\alpha$
• 設定項目2: 検定方式（両側検定か片側検定か）

以下では、 これら2つの項目を設定する理由を説明した後、 各項目について説明します。 2つの項目から棄却域を決める方法と 具体例も示します。

帰無仮説から算出される検定統計量を 判定するための基準（棄却域）を決めることが、 手順3の目的です。 つまり 「仮説が否定されるときに検定統計量が入る範囲」 を決めることが目的です。 判定基準を決めるためには、 確率分布の区切り方を定める必要があります。 そのために、 有意水準 $\alpha$ と検定方式の2つを設定します。

検定統計量は、従う確率分布が統計学的にわかっています。 そのため、 使用する検定統計量を決めた（手順2）時点で、 仮説が正しい場合の 検定統計量の確率分布は 自動的に定まります （確率分布というのは、 ある値からある値の間に入る確率を示すものです）。 確率分布から、 「仮説が正しいときに検定統計量のすべて（100%）が入る範囲」 が決まるのが理想的です。 その範囲に、仮説から算出した検定統計量が入らなければ、 仮説が否定できるためです。 この場合、仮説を否定する基準が自動的に決まります。

しかし実際は、 判定基準を設定するためには、 人為的に区切りを作る必要があります。 その理由は、 確率分布の値は完全には0にならないためです （検定統計量が有限の値のとき）。 「検定統計量のすべて（100%）が入る範囲」 を設定しようとすると 「$-\infty$から$\infty$」 となってしまいます。

そこで、 人為的に区切りを作ります。 これにより 「すべて（100%）が入る範囲」を決める代わりに 「ほぼすべてが入る範囲」が決まります。 「ほぼすべてが入る範囲」を採択域と言い、 採択域の外側を棄却域と言います。 棄却域が帰無仮説を否定する基準になります。 棄却域に、帰無仮説から得られた検定統計量が入ると、 「帰無仮説が棄却」（ほぼ否定）されます。

「ぼほすべての検定統計量が採択域に入る」 ＝「ほぼすべての検定統計量が棄却域に入らない」 というのは、 帰無仮説 $H_0$ を言い換えたものに相当します。 その否定として 「無視できない割合で棄却域に入る検定統計量が存在する」 が設定されます。 確率を含む仮説なので 「ほぼ」や「無視できない割合で」 という文言が含まれています。

棄却域を決めるために （確率分布を人為的に区切るために）、 以下2つの設定が必要です。

• 「ほぼすべて」の外側の確率を何%とするか：有意水準 $\alpha$
• 確率分布を片側から区切るか、両側から区切るか：検定方式

棄却域を決定するために、 有意水準 $\alpha$ を設定します。 有意水準 $\alpha$ とは、 帰無仮説が正しい場合に、 「検定統計量の値が棄却域に入る確率」 のことです。 一般的に 0.05 (5%) または0.01 (1%) が 設定されます。

有意水準 $\alpha$ の意味は、 「『偶然である』とする確率」の限界値 とも言えます。 有意水準 $\alpha$ 未満の確率の事象が起きたときは、 「偶然ではない」 「意味のある差異（有意差）がある」 と判断されます。

帰無仮説が正しい場合、 検定統計量は 「偶然」も含めて、ほぼすべて採択域に入り（確率 : 1-$\alpha$）、 きわめて珍しいことが起きたときに棄却域に入ります（確率 : $\alpha$）。 確率分布のグラフ上では、 採択域の面積が1-$\alpha$、 棄却域の面積が$\alpha$に 相当します。

帰無仮説が正しいときの、 採択域、棄却域、有意水準$\alpha$ の 意味を整理すると以下の通りです。

• 採択域
  • 発生確率（確率分布上での面積） : 1-$\alpha$
  • ほぼすべての検定統計量が入る範囲
  • 偶然で生じると言える範囲

• 棄却域
  • 発生確率（確率分布上での面積） : $\alpha$
  • 無視できる程度の確率でしか生じない、 きわめて珍しいことが起きたときに入る範囲
  • 偶然でもなかなか生じない範囲
    → 偶然ではなく、意味のある差異（有意差）があると判断される範囲

棄却域を決定するため、 有意水準 $\alpha$ の他に、 検定方式を設定します。 検定方式とは、 帰無仮説が正しい場合に、 「確率分布上のどの位置に棄却域を配置するか決める方式」 のことです。 両側検定と片側検定の2種類から選択します。

棄却域を設定する、 つまり確率分布を区切るとき、 面積は有意水準 $\alpha$ （設定項目1） によって決まります。 面積のほかに、もう1つ、 「棄却域を確率分布のどこに配置するか」 を決めなければ、 具体的に確率分布を区切れません。 これを決めるのが「検定方式」です。

検定方式には2種類あり、 面積$\alpha/2$の領域を、確率分布の両側に配置して区切る方法と、 面積$\alpha$の領域を、確率分布の片側に配置して区切る方法があります。 それぞれ「両側検定」「片側検定」と呼びます。

• 両側検定：
  • 棄却域の位置：確率分布の上下（図上では左右）の両側2か所
  • 棄却域の面積：$\alpha/2$（1か所あたり）
• 片側検定（下側検定、上側検定）：
  • 棄却域の位置：確率分布の下側または上側（図上では、右側または左側）の1か所
  • 棄却域の面積：$\alpha$（1か所あたり）

片側検定はさらに2種類に分かれ、 棄却域の配置場所を 確率分布の下側にするか上側にするかによって名称が変わります。

• 下側検定：
  • 棄却域の位置：下側（図上では右側）
• 上側検定：
  • 棄却域の位置：上側（図上では左側）

設定項目2つが決まると、 棄却域の範囲が具体的に決まります。 このときに使うのが分布表です （計算ツールを用いる方法もあります）。

分布表には、 検定統計量の具体的な値が記載されています。 分布表から値を読み取るには、 設定項目2つに1つ追加した 以下の3つのパラメータが必要になります。

• 自由度
• 有意水準 $\alpha$
• 検定方式

自由度は、 サンプルサイズ - 1 の値です。 サンプルサイズというのは、 1標本あたりのデータ数になります。 取得した（または取得する予定の） データ数を設定します。

表の中で使用する有意水準 $\alpha$ と検定方式には、 上記までに決めた

• 設定項目1の有意水準 $\alpha$ の値
• 設定項目2の検定方式（片側検定か両側検定か） を設定します。 $\alpha$は、「危険率」と表記されている場合もあります。

分布表から読み取った検定統計量が、 棄却域の上限・下限に使われます。

• 両側検定の場合
  • 下限：-(分布表の値)
  • 上限：分布表の値
• 片側検定（下側検定）の場合
  • 下限：なし
  • 上限：分布表の値
• 片側検定（上側検定）の場合
  • 下限：-(分布表の値)
  • 上限：なし

手順1～2の具体例の設定を使い、 棄却域の決定を行ってみます。

手順1～2の設定

• 帰無仮説 $H_0$: 「フライドポテトの質量は100gである」
• 検定統計量 : $t$ 値

採択域を決めるため、 以下の2つを設定します。

• 設定項目1: 有意水準 $\alpha$ = 0.05 (5%)
• 設定項目2: 検定方式 = 両側

データの数（サンプルサイズ）が5個の場合、 自由度は $v = 5 - 1 = 4$ になります。

これらの条件使って $t$ 分布表を確認すると、 $t = 2.776$ になるので、 棄却域（帰無仮説がほぼ否定される $t$ 値の範囲）は、 $t<-2.2776, 2.2776<t$ に決まります。

手順3で、帰無仮説がほぼ否定される統計量の範囲（棄却域）を決めました。 次は、実際にデータを使って統計量を算出し、 手順3で決めた範囲に入るかどうか、検証を行います。 入れば帰無仮説はほぼ否定（棄却）され、対立仮説がほぼ正しい（採択）という結論が出せます。

以下では、 仮説の棄却と採択を行う手順について説明し、具体例を示します。

手順1～3までに決まった内容を基に、 結論を導きます。 ステップは下記になります。

• i. 仮定とデータから検定統計量を計算する
• ii. 採択域と比較する
• iii. 結論を出す

実際の測定データ（1標本）と、 仮定した母集団の統計値を使い、 検定統計量を算出します。

この検定統計量は、 帰無仮説が成り立つことを前提とした値です。 統計学的にほぼあり得ない値であると、 結論づけられた場合、 この仮説がほぼ否定されます。

実際の測定データ（1標本）を 計算に用いるのは、 この手順4が初めてになります。

iの検定統計量の値と棄却域を比較します。

棄却域は、手順3までで決めた検定統計量の範囲です。 「帰無仮説が正しい場合に、 統計学的にほぼ入らないはず」 の範囲を意味します。 つまり、 iの検定統計量が 棄却域に入ると 帰無仮説はほぼ否定されます。

iiの結果を踏まえて、 帰無仮説がほぼ否定されるかどうかの結論を出します。

帰無仮説がほぼ否定されることを「棄却する」と言います。 その結果、 対立仮説がほぼ成り立つことになります。 このことを対立仮説を「採択する」と言います。

手順1～3の具体例の設定を使い、 結論まで導きたいと思います。

手順1～3の設定

• 帰無仮説 $H_0$ : 「フライドポテトの質量は100gである」
• 棄却域 : $t < -2.2776, 2.2776 < t$
  • 検定統計量 : $t$ 値
  • 有意水準 $\alpha$ : 0.05
  • 検定方式 : 両側検定
  • サンプルサイズ : 5

結論までは、

• i. 仮定とデータから $t$ 値を計算する
• ii. 棄却域と比較する
• iii. 結論を出す の順で進めていきます。

仮説とデータから得られる数値を 計算式に代入し、 $t$ 値の算出を行います。

仮説から下記が得られます。

• 母平均 = 100

データについては、 実際にフライドポテトを5品購入し、 それぞれの質量を測定することで、 1サンプル分の平均質量と分散値が 取得できます。 ここでは、測定して以下の結果が得られたとします。

• サンプル平均 = 95
• 不偏分散 = 8

データの取得条件である、 サンプルサイズについてですが、 1標本（1サンプル）には、5品分の質量（データ）が含まれるので

• サンプルサイズ = 5

です。 もし、使用するデータのサンプルサイズを、 棄却域の決定時（手順3）のサンプルサイズから変更する場合には、 再度、棄却域の決定をやり直す必要があります。

上記の値を使って $t$ 値を算出すると次の通りになります。

• $t$ : 検定統計量
• $\bar{x}$ : 標本平均 = 95
• $\mu$ : 母平均 = 100
• $s^2$ : 不偏分散 = 8
• $n$ : サンプルサイズ = 5

棄却域は

• $t < -2.2776, 2.2776 < t$ です（手順3より）。 仮説から導いた値は
• $t= -3.95$ です（手順4 iより）。

この2つを比較すると、 仮説から導いた $t$ 値は、 棄却域の中にあることがわかります。

帰無仮説が成り立つ前提で、 検定統計量の評価を行ったところ、 棄却域に入りました（手順4 ii）。

この結果から、

• 帰無仮説 $H_0$ : 「フライドポテトの質量は100gである」 は、棄却されます。 そして、
• 対立仮説 $H_1$ : 「フライドポテトの質量は100gではない」 が採択されます。

最終的に、 「フライドポテトの質量は100gではない可能性が高い」 と結論付けられます。

仮説検定では、確認したい仮説を否定する仮説を立て、 それが成り立たないことを示すことで、 確認したい仮説が成り立つと結論付けます。

大まかに次の手順で進めます。

手順1. 仮説を立てる。
対立仮説と帰無仮説を立てる。

手順2. 使用する検定統計量を決定する。
帰無仮説が成り立つかの評価に用いる検定統計量を決める。

手順3. 判定基準となる検定統計量の範囲を決定する。
帰無仮説が成り立つかの判定基準となる棄却域を、統計学的に決定する。

手順4. 実際のデータから検証を行う。
帰無仮説と実験データから検定統計量を計算し、棄却域にはいるか検証し結論を出す。