2024/12/12

相関係数の算出と単回帰分析ツール【統計学】

計算ツール

この計算ツールでは、データ列間の相関値（相関係数）が算出できます。スプレッドシートにデータ列を記入することで、テーブルに相関係数が表示され、データの散布図とフィッティング直線がグラフに表示されます。使い方の詳細は後述します。

マーカーセット数：1/5

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	53.02	35.06
2	65.81	51.35
3	13.83	0.16
4	20.29	39.45
5	40.21	40.39
6	51.73	53.54
7	52.46	58.33
8	31.15	28.88
9	39.54	36.91
10	30.46	24.75
11	45.05	52.28
12	32.21	36.22
13	33.71	25.85
14	41.5	37.64
15	55.81	50.55
16	52.05	45.91
17	67.34	73.99
18	30.83	36.75
19	88.09	85.82
20	34.39	52.80
21	38.36	49.63
22	13.98	10.02
23	52.07	49.95
24	-5.75	-11.38
25	15.37	6.64
26	48.16	49.75
27	75.63	75.54
28	37.95	28.79
29	64.39	73.38
30	68.42	67.71
31	60.79	61.50
32	55.49	67.20
33	-1.43	3.14
34	0.69	-2.68
35	80.38	78.72
36	26.21	28.87
37	53.02	28.51

X₁ - Y₁

	`X`₁-`Y`₁	`X`₂-`Y`₂	`X`₃-`Y`₃	`X`₄-`Y`₄	`X`₅-`Y`₅
ピアソンの相関係数
	0.926	NaN	NaN	NaN	NaN
スピアマンの相関係数
	0.873	NaN	NaN	NaN	NaN
単回帰直線
	`y` =	`y` =	`y` =	`y` =	`y` =
	0.994 `x`	`x`	`x`	`x`	`x`
	+ -0.603	+	+	+	+
決定係数
	0.857	NaN	NaN	NaN	NaN

スプレッドシートについて

解析するデータ列を記入してください。スプレッドシート上の一番上の行にある2つの "1" マーカーは、それぞれ $X_1$ と $Y_2$ を意味しています。このマーカー位置の列に記入したデータ列が、それぞれ $X_1$ と $Y_2$ として扱われます。マーカーの位置はドラッグで移動できるので、複数のデータ列を記入しておき、解析したいデータ列を切り替えることもできます。

マーカーの数は最大5セットまで増やせます。スプレッドシート上の"-", "+" ボタンを押してみてください。 "セル初期化" ボタンは、スプレッドシート上の数値を削除します。

グラフについて

グラフ上では、スプレッドシートに入力したデータ列の散布図およびフィッティング直線が表示されます。グラフの横軸が $X$ 、縦軸が $Y$ になっています。初期の状態では $X_1$ と $Y_1$ の1セットが表示されていますが、スプレッドシート上のマーカーセット数を増やすと表示されるデータセットの数も増え、重ねて表示されます。

テーブルについて

テーブルでは、スプレッドシートに入力したデータ列間の相関係数およびフィッティング直線の数式と決定係数が表示されます。表示される相関係数は、ピアソンの相関係数とスピアマンの相関係数の 2種類を表示しています。

相関係数と単回帰分析について

ピアソン、スピアマンの相関係数

相関係数（相関値）は、絶対値が1に近いほど「高い相関」を示し、0に近いほど「低い相関」を示します。一般的に 0.6 or 0.7以上の場合に「相関あり」とするケースが多いようです。

ここでは、ピアソンの相関係数とスピアマンの相関係数の 2種類を用いています。ピアソンの相関係数は、データの母集団が正規分布であるという仮定の元で使用されます。ピアソンの相関係数よりも外れ値に強く、またデータに正規性がなくても使用できます。データ列が直線関係でなく、単調増加・単調減少の関係性（指数関数や対数関数など）であれば相関関係を算出できますが、それ以外 (2次関数など) の関係性では、たとえ実際には相関があっても低い相関係数になります。 相関係数の値だけでなく、散布図も必ず確認してください。

ピアソンの相関係数 (Peasonの積率相関係数) は次の式で表されます。

$x_i$ : データ $X$ の $i$ 番目の値
$y_i$ : データ $Y$ の $i$ 番目の値
$\overline{x}$ : データ $X$ の平均値
$\overline{y}$ : データ $Y$ の平均値
$n$ : データ数

r = \dfrac{\dfrac{1}{n}\sum _{i}^{n}\left( x_{i}-\overline{x}\right) \times \left( y_{i}-\overline{y}\right) }{\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum _{i}^{n}\left( x_{i}-\overline{x}\right) ^{2}{\dfrac{1}{n}\sum _{i}^{n}\left( y_{i}-\overline{y}\right) ^{2}}}}

スピアマンの相関係数 (Spearmanの順位相関係数) は、各データの値を順位に変換し、順位同士でピアソンの相関係数を算出したものになりますが、次の式が多用されます。

$D_i$ : $x_i$ と $x_i$ の順位の差
$n$ : データ数

\rho = 1 - \frac{6 \sum_{i}^{n} D_i^2}{n(n^2 - 1)}

単回帰分析について

ここではデータの関係が直線関係（線形関係）であると仮定しており、 1次関数による線形回帰分析を使用しています。 使用するデータごとに、1次関数によるフィッティングが妥当であるのかの判断が必要なので、ご注意ください。

フィッティング直線は、傾き $a$ と切片 $b$ の2つのパラメータによって決まります。計算式は次の通りです。

$y_i$ : データ $Y$ の $i$ 番目の値
$\overline{y}$ : データ $Y$ の平均値

\begin{align*} a &= \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})(x_i - \bar{x})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \\ b &= \bar{y} - a\bar{x} \end{align*}

決定係数として、ここでは次の式を使用しています。フィッティング直線が実際のデータにどの程度合致しているのかを示しています。 0に近いほど不一致であり、1に近いほど一致していることを意味します。

$f_i$ : データ $Y$ の $i$ 番目の推定値 (フィッティング直線の値)

R^{2}=1-\dfrac{\sum _{i}^{n}\left( y_{i}-f_{i}\right) ^{2}}{\sum _{i}^{n}\left( y_{i}-\overline{y}\right) ^{2}}